금융공학의 역사 1) 무작위 가정과 브라운 운동

금융공학은 뭘까요? 저는 이 정의를 내리는 데에 어려움을 느낍니다. 잘 이해할 수 없는 개념에 대해 접근하는 좋은 방법 중 하나로, 그 개념의 역사를 쭉 훑어가는 것을 추천하고 싶습니다. 그래서 앞으로 수 차례, 금융공학의 역사에 대해 차근히 포스팅을 해볼까 합니다.

금융공학에서는 '무작위적으로 움직이는 어떤 변수'를 상정하고 이 변수의 무작위성이 어떠한 법칙을 따르지 않을까? 하고 가정을 합니다. 아... 초반부터 어려움이 느껴지는군요. 하지만 우리는 이걸 간단하게 이해할 목적으로 이 글을 함께 하고 있기 때문에, 요약을 합시다. 이해해야 하는 개념은 다음과 같아요.

1) 무작위
2) 변수
3) 무작위성이 따르는 법칙

1번, '무작위'는 이제 아래에서 얘기하고 싶은 브라운 운동(Brownian motion)이고, 이 아래 문단부터 제가 하고 싶은 이야기니까 일단 넘어가죠. 2번, '변수(variable)'라 하는 것은 단순히 정해진 상수(constant)가 아니라는 뜻이고, 이것이 1번의 브라운 운동을 따라 무작위적으로 결정된다는 것입니다. 변수라는 말이 어려우면 이걸 주가라고 생각해도 좋고(정확히 말하면 주가수익률이지만 이런 얘긴 나중에 하죠), 이자율이라고 생각해도 좋습니다. 이런 것들은 아무튼 좀 랜덤하게 움직이잖아요? 예를 들어 회사의 영업 내용은 별로 바뀐 것도 없는데, 주식시장의 가격이 미세하게 무작위적으로 떨림에 따라 회사의 시장가치가 바뀐다는 것은 어찌 보면 이상한 일입니다. 하지만 그게 우리 시장 속에서 실제로 매일, 매분, 또는 매 틱(tick)마다 일어나고 있으니까요. 말이 길어졌는데, 이런 무작위적인 떨림을 어떻게든 분석해보고자 한 사람이 있었습니다. 돈과 관련된 일이다 보니 말이죠. 프랑스의 수학자 루이 바슐리에 얘깁니다.

하지만 바슐리에 썰은 다음 포스팅에서 풀도록 하죠. 사실 이 무작위가 따르는 법칙은 경제학이나 수학에서 가져온 것이 아닙니다. 재미있게도, 금융공학에서 사용되는 무작위 개념은 어느 식물학자의 연구에서 가져온 것입니다.

(사진 출처: 위키피디아, 

http://en.wikipedia.org/wiki/Robert_Brown_(botanist) )

왼쪽의 인물은 로버트 브라운(Robert Brown)이라는 영국 스코틀랜드의 식물학자입니다. 브라운은 어느날 클라키아 풀켈라(clarkia pulchella)라는 식물의 꽃가루를 물에 띄우고 현미경으로 관찰하던 중, 움직임이 없어야 정상인 이들이 끊임없이 운동을 하고 있다는 사실을 발견합니다. 정지한 물 위에 뿌린 꽃가루가 왜 이동하는 것인가? 기존에는 이 운동의 원인이 식물의 꽃가루가 사실 생명을 가지고 있기 때문이었다고 생각했다고 합니다. 하지만 네덜란드의 생물학자 얀 잉겐하우즈(Jan Ingenhousz)도 그보다 이전에 석탄가루가 비슷한 운동을 보이는 것을 관찰하여 보고한 적이 있었으므로 꽃가루 자체의 생명에 관련된 운동은 아니었다고 유추할 수가 있죠. 브라운은 이후 무기물 가루를 대상으로 한 실험에서 같은 결과를 얻음으로써 꽃가루 자체의 생명력이 운동에 영향을 준 것이 아니라는 사실을 보고했습니다. 결론부터 말하자면, 이 운동은 액체 상태에서는 물 분자가 운동을 하면서 표면의 꽃가루를 끊임없이 쳐댄 결과입니다. 하지만 브라운은 그것까지는 알아내지 못합니다. 아무튼, 브라운의 발견을 기려 이런 무작위적인 움직임을 가리켜 '브라운 운동'이라 합니다.

(사진 출처: 위키피디아,

http://en.wikipedia.org/wiki/Brownian_motion )

왼쪽의 움직이는 그림은 브라운 운동을 시뮬레이션한 것입니다. 돌아다니는 검은 좁쌀들, 위 실험에서는 물 분자들의 운동이 노란 원 안의 점, 즉 입자와 무작위적으로 충돌함으로써 입자는 무작위적인 운동을 하게 되는 것입니다.

그러나 이 운동의 성격을 구체적으로 규명한 것은 유명한 물리학자 알베르트 아인슈타인입니다. 아인슈타인은 눈이나 현미경으로 관찰이 불가능한 물 분자의 운동성을 설명하기를 원했고, 이를 위해 1905년 자신의 세 번째 논문에서 이 입자의 운동에 대해 언급했습니다.

결정론적인 이해보다 직관적인 물리학적 이해를 선호한 아인슈타인은 개별 입자의 운동을 따라가는 것이 아니라 전체 입자의 밀도와 관련하여 입자의 운동을 해석했습니다. 이게 무슨 말이냐... 개별 입자의 운동을 따라가면 딱 떨어지는 결정론적인 설명이 가능했겠지요. 하지만 이렇게 설명하기는 어렵습니다. 대신 아인슈타인은 거시적으로 분자가 어떻게 퍼져나가는가, 즉 확산되는가를 계산함으로써 입자의 운동을 관찰하고자 한 것이지요. 물 표면에 꽃가루가 떨어져 퍼지는 것이나 담배연기를 허공에 피우고 퍼지는 것도 마찬가지입니다.

아인슈타인이 제시한 확산방정식(diffusion equation)은... 여기서는 언급하지 않겠습니다(^^;). 제가 이 논문을 완전히 이해하는 것도 아니고, 이걸 쓰기 시작하면 안그래도 재미없는 이 블로그가 더 재미없어지겠죠... 다만 여기서 딱 한 가지 기억하실 것은 확산방정식의 해를 풀어 얻은, 입자의 운동 거리는 흐른 시간의 제곱근에 비례한다는 결론입니다. 이 얘긴 나중에 다시 꺼낼 수 있을 것 같네요.

이 무작위 움직임을 주식시장에 활용하여 자산가격을 설명하려고 한 사람이 바로 루이 바슐리에였습니다. 다음 포스팅에서는 바슐리에의 1900년 저작, '투기의 이론(The Theory of Speculation)'과 관련된 이야기를 해볼까 합니다.